כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 יריעות פרמטריות
1.1 הגדרות
הגדרה 1.1. יריעה פרמטרית \(k\)-ממדית היא קבוצה \(X\subseteq\MKreal^{n}\) עבור \(n\geq k\), יחד עם העתקה \(\phi:U\rightarrow\MKreal^{n}\) מקבוצה פתוחה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) ל-\(\MKreal^{n}\) המקיימת \(\phi\left(U\right)=X\)1מבחינה פורמלית \(X\) לבדה אינה יריעה פרמטרית \(k\)-ממדית, אלא הזוג הסדור \(\left(X,\phi\right)\) הוא המהווה יריעה כזו.; ההעתקה \(\phi\) תיקרא פרמטריזציה של \(X\).
\(\clubsuit\)
הגדרה זו עדיין אינה מספקת אותנו:
כפי שראינו כשעסקנו במסילות, \(X\) יכולה שלא להיראות "חלקה" אפילו אם \(\phi\) חלקה.
ייתכן ש-\(\phi\) אינה חח"ע ולכן אינה יכולה לשמש אותנו על מנת להגדיר קואורדינטות על \(X\).
גרוע מכל אלו הוא ש-\(X\) עלולה להיות בעלת ממד נמוך יותר מ-\(k\) (מבחינה אינטואיטיבית) - אף אחד אינו מפריע ל-\(\phi\) להיות בעלת משתנה "סרק" (כזה שהיא אינה תלויה בו, לדוגמה: \(\phi\left(x,y,z\right):=x+y\)).
\(\clubsuit\)
נרצה כעת להגדיר אינטגרל של פונקציה על יריעה (\(f:X\rightarrow\MKreal\)), הבעיה היא שבניגוד ל-\(\MKreal^{n}\) שעבורו היה קל לנו להכליל את ההגדרה של אינטגרל רימן, כעת הדבר בלתי אפשרי2אי אפשר להשתמש ישירות באינטגרל שהגדרנו באינפי'3מפני ש-\(X\)\(k\)-ממדית ולכן ממידה אפס ב-\(\MKreal^{n}\) (אלא אם \(n=k\)).. הפתרון הוא כמובן להשתמש בפרמטריזציה כפי שעשינו עם מסילות: נרצה שהאינטגרל של \(f\) על \(X\) יהיה האינטגרל של \(f\circ\phi\) על \(U\). אבל... רגע, לא שכחנו משהו? האינטואיציה של משפט חילוף משתנה דורשת "תיקון" בדמות הערך המוחלט של יעקוביאן בכל נקודה, סיבה נוספת לדרוש זאת היא כדי שהאינטגרל לא יהיה תלוי בפרמטריזציה. אלא שכעת אנו נתקלים בבעיה קטנה: ייתכן שהדטרמיננטה אינה מוגדרת על הנגזרת של \(\phi\) מפני ש-\(n\geq k\); נעזוב לרגע את הבעיה הזו ונניח שפתרנו אותה, כלומר יש לנו פונקציה \(V:M_{n\times k}\left(\MKreal\right)\rightarrow\MKreal\) המקיימת את הנדרש, א"כ ההגדרה המתבקשת היא:\[
\intop_{X}f\thinspace d\MKvol_{k}=\intop_{U}f\left(\phi\left(x\right)\right)\cdot V\left(D\phi_{x}\right)dx
\]
\(\clubsuit\)
הבעיה שראינו בהערה הקודמת מצביעה על כך שהגדרת הדטרמיננטה אינה עונה על כל השאלות המצופות ממנה: יש משמעות לשאלה "עד כמה העתקה ליניארית \(T:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{n}\) מותחת/מכווצת את המרחב?" גם אם \(n\neq k\), אך הדטרמיננטה אינה יכולה לענות עליה. הרעיון של ההגדרה הבאה הוא כזה: העובדה ש-\(T\) מחזירה וקטורים באורך \(n\) סימאה את עינינו, קיים תמ"ו \(W\subseteq\MKreal^{n}\) כך ש-\(\dim W=k\) ו-\(\MKim T\subseteq W\), א"כ \(T\) היא העתקה ליניארית בין מרחבים מממד זהה ולכן ניתן להפעיל עליה את הדטרמיננטה! אלא שכאן עלינו להיזהר, הדטרמיננטה מוגדרת היטב על אופרטורים ליניאריים בין מרחב לעצמו - מייצגים את האופרטור בבסיס כלשהו3הדטרמיננטה של מטריצות דומות זהה ולכן זה לא משנה איזה בסיס נבחר. של אותו מרחב ולוקחים את הדטרמיננטה של המטריצה; אבל כאן נזדקק לשני בסיסים כדי לייצג את \(T\) במטריצה, ומי ערב לנו שבחירה שונה של בסיס באחד המרחבים לא תיתן תוצאה שונה?
\(\clubsuit\)
כדי לפתור את הבעיה עלינו להבין אותה לעומק, ההבדל בין שני המקרים הוא כזה:
בהינתן אופרטור \(f:V\rightarrow V\) מעבר מבסיס \(\MKclb\) לבסיס \(\MKclc\) מתבצע ע"י \(\left[f\right]_{\MKclc}^{\MKclc}=\left[\MKid\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\cdot\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\cdot\left[\MKid\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\), מהכפליות של הדטרמיננטה נובע כי:\[\begin{align*}
\det\left(\left[f\right]_{\MKclc}^{\MKclc}\right) & =\det\left(\left[\MKid\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\cdot\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\cdot\left[\MKid\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\right)=\det\left(\left[\MKid\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\right)\cdot\det\left(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\right)\cdot\det\left(\left[\MKid\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\right)\\
& =\det\left(\left(\left[\MKid\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\right)^{-1}\right)\cdot\det\left(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\right)\cdot\det\left(\left[\MKid\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\right)\\
& ={\color{red}\left(\det\left(\left[\MKid\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\right)\right)^{-1}}\cdot\det\left(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\right)\cdot{\color{red}\det\left(\left[\MKid\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\right)}=\det\left(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\right)
\end{align*}\]
לעומת זאת בהינתן העתקה ליניארית \(T:V\rightarrow W\), בסיסים \(\MKclb_{1}\) ו-\(\MKclb_{2}\) של \(V\) ובסיסים \(\MKclc_{1}\) ו-\(\MKclc_{2}\) של \(W\), המעבר מ-\(\left[T\right]_{\MKclc_{1}}^{\MKclb_{1}}\) ל-\(\left[T\right]_{\MKclc_{2}}^{\MKclb_{2}}\) מתבצע ע"י:\[
\left[T\right]_{\MKclc_{2}}^{\MKclb_{2}}=\left[\MKid\right]_{\MKclc_{2}}^{\MKclc_{1}}\cdot\left[T\right]_{\MKclc_{1}}^{\MKclb_{1}}\cdot\left[\MKid\right]_{\MKclb_{1}}^{\MKclb_{2}}
\]וכאן הכפליות של הדטרמיננטה אינה עוזרת לנו מפני שאין כל ערובה לכך ש-\(\det\left(\left[\MKid\right]_{\MKclc_{2}}^{\MKclc_{1}}\right)\cdot\det\left(\left[\MKid\right]_{\MKclb_{1}}^{\MKclb_{2}}\right)=1\).
א"כ עלינו להוסיף דרישה על הבסיסים שבהם אנו מייצגים את \(T\) כך שמעבר בסיסים לא ישנה את הדטרמיננטה, וכזו נמצאה לנו בדמות דרישה שהבסיסים יהיו אורתונורמליים, שאז המטריצות המייצגות של מעברי הבסיסים תהיינה מטריצות אורתוגונליות שהדטרמיננטה שלהן היא \(1\).
\(\clubsuit\)
הסברנו לעיל מדוע הגדרת הפונקציה \(V:M_{n\times k}\left(\MKreal\right)\rightarrow\MKreal\) אינה תלויה בבחירת הבסיסים.
\(\clubsuit\)
א"כ מצאנו העתקה שתחליף את הדטרמיננטה במדידת פקטור המתיחה/כיווץ של העתקה ליניארית.
\(\clubsuit\)
נשים לב לכך שאם \(k=n\) אז \(V\) מזדהה עם הדטרמיננטה.
\(\clubsuit\)
כמו בחלק הקודם שעסק במסילות, גם כאן הגדרת הרגולריות באה למנוע מצב שבו \(\phi\) חלקה אבל \(X\) אינה כזו (מבחינה אינטואיטיבית), ובקובץ הטענות אנחנו נראה טענה מקבילה לזו שבחלק הקודם האומרת שבסביבת נקודה רגולרית \(X\) נראית כמו גרף של פונקציה חלקה ולפיכך ברור שהיא "חלקה" מבחינה אינטואיטיבית; בכך אנו פותרים את הבעיה הראשונה שראינו בהגדרת יריעה \(k\)-ממדית. הגדרת הרגולריות פותרת גם את הבעיה השלישית בהגדרת היריעה ה-\(k\) ממדית: לו היה ל-\(\phi\) משתנה "סרק" נגזרתה לא הייתה יכולה להיות מדרגה מלאה מפני שהנגזרת החלקית לפי משתנה זה מתאפסת. בנוסף, ממשפט הפונקציה ההפוכה נובע ש-\(\phi\) חח"ע בסביבה של כל נקודה רגולרית, כלומר גם הבעיה השנייה נפתרת באופן מקומי.
\(\clubsuit\)
למעשה מבחינה גאומטרית המרחב המשיק בנקודה רגולרית \(x\in U\) הוא הישריה \(\phi\left(x\right)+\MKim\left(D\phi_{x}\right)\), אך אנחנו נראה בהמשך שההגדרה הנ"ל תהיה נוחה יותר. על כל פנים זהו המושג היחיד שאינו מכליל את המקביל לו בחלק הקודם שעסק במסילות, ששם הגדרנו את הישר המשיק ממש ע"פ הגאומטריה.
\(\clubsuit\)
כלומר \(X\) נראית כמו גרף של פונקציה חלקה בסביבת \(\phi\left(x_{0}\right)\), זהו האפיון הכי ברור לכך ש-\(X\) "חלקה" בסביבה זו.
תהיינה \(X\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה \(k\)-ממדית ו-\(\phi:U\rightarrow\MKreal^{n}\) פרמטריזציה של \(X\).
הגדרה 1.2. תהיינה \(V\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה ופונקציה \(\varphi:V\rightarrow\MKreal^{n}\), נאמר ש-\(\varphi\) היא רה-פרמטריזציה של \(X\) אם קיים דיפאומורפיזם \(\psi:V\rightarrow U\) כך ש-\(\phi=\varphi\circ\psi\).
הגדרה 1.3. תהא \(T:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{n}\) העתקה ליניארית כך ש-\(k\leq n\), ויהי \(\MKclb\) בסיס אורתונורמלי של \(\MKreal^{k}\). יהיו \(u_{1},u_{2},\ldots,u_{\MKrank T}\in\MKim T\) כך ש-\(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{\MKrank T}\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(\MKim T\), יהי \(W\subseteq\MKreal^{n}\) תמ"ו כך ש-\(\MKim T\subseteq W\) ו-\(\dim W=k\), ויהיו \(u_{\MKrank T+1},u_{\MKrank T+2},\ldots,u_{k}\in W\) כך ש-\(\MKclc:=\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(W\). נסמן:\[
V\left(T\right):=\det\left(\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\right)
\]ובאותו אופן נסמן \(V\left(A\right):=V\left(T_{A}\right)\) לכל \(A\in M_{n\times k}\left(\MKreal\right)\).
טענה. לכל העתקה ליניארית \(T:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(k\leq n\) מתקיים \(V\left(T\right)=\sqrt{\det\left(T^{*}\circ T\right)}\)4\(T^{*}\) היא ההעתקה הצמודה של \(T\) (הוגדרה בליניארית2), אין שום עניין לזכור זאת כאן - מי שלא זוכר יכול להסתפק בעובדה ש-\(T^{*}\) היא ההעתקה הליניארית המקיימת \(\left[T^{*}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}=\left(\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\right)^{t}\) לכל בחירת בסיסים \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) של \(\MKreal^{k}\) ו-\(\MKreal^{n}\) בהתאמה., וכמו כן לכל מטריצה \(A\in M_{n\times k}\left(\MKreal\right)\) מתקיים \(V\left(A\right)=\sqrt{\det\left(A^{t}\cdot A\right)}\).
מסקנה. יהי \(\psi:V\rightarrow U\) דיפאומורפיזם, ותהא \(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\); מתקיים:\[
\intop_{U}f\left(\phi\left(x\right)\right)\cdot V\left(D\phi_{x}\right)dx=\intop_{V}f\left(\phi\left(\psi\left(y\right)\right)\right)\cdot V\left(D\left(\phi\circ\psi\right)_{y}\right)dy
\]כלומר אם אחד האינטגרלים מוגדר אז גם האחר מוגדר והם שווים.
הגדרה 1.4. תהא \(f:X\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה, האינטגרל ה-\(k\)-ממדי של \(f\)על\(X\) הוא:\[
\intop_{X}f\ d\MKvol_{k}:=\intop_{U}f\left(\phi\left(x\right)\right)\cdot V\left(D\phi_{x}\right)dx
\]וכמו כן נגדיר את הנפח ה-\(k\) ממדי של \(X\) ע"י \(\MKvol_{k}\left(X\right):=\intop_{U}V\left(D\phi_{x}\right)dx\). ייתכן שהאינטגרל ה-\(k\)-ממדי של \(f\) על \(X\) ו/או הנפח ה-\(k\)-ממדי של \(X\) אינם מוגדרים משום שהאינטגרלים הנ"ל אינם מוגדרים.
הגדרה 1.5. נאמר ש-\(\left(X,\phi\right)\)רגולרית בנקודה\(x\in U\) אם \(\MKrank\left(D\phi_{x}\right)=k\), וכמו כן נאמר במקרה כזה ש-\(x\) היא נקודה רגולרית של \(\left(X,\phi\right)\); בנוסף, אם \(\phi\) חח"ע נאמר גם ש-\(\left(X,\phi\right)\)רגולרית בנקודה\(p\in X\) אם היא רגולרית ב-\(\phi^{-1}\left(p\right)\), וכמו כן נאמר במקרה כזה ש-\(p\) היא נקודה רגולרית של \(\left(X,\phi\right)\). \(\left(X,\phi\right)\) תיקרא רגולרית אם היא רגולרית בכל \(U\).
הגדרה 1.6. נניח ש-\(\left(X,\phi\right)\) רגולרית בנקודה \(x\in U\), המרחב המשיק ל-\(\left(X,\phi\right)\) ב-\(x\) מוגדר ע"י \(T_{x}\left(X\right):=\MKim\left(D\phi_{x}\right)\), וכל וקטור \(v\in T_{x}\left(X\right)\) נקרא וקטור משיק; בנוסף אם \(\phi\) חח"ע נגדיר את המרחב המשיק ל-\(\left(X,\phi\right)\) ב-\(\phi\left(x\right)\) ע"י \(T_{\phi\left(x\right)}\left(X\right):=T_{x}\left(X\right)\).
מסקנה 1.7. המרחב המשיק אינו תלוי בפרמטריזציה, שכן ע"פ כלל השרשרת לכל דיפאומורפיזם \(\psi:V\rightarrow U\) מתקיים:\[
\MKim\left(D\phi_{x}\right)=\MKim\left(D\phi_{x}\circ D\psi_{\psi^{-1}\left(x\right)}\right)=\MKim\left(D\left(\phi\circ\psi\right)_{\psi^{-1}\left(x\right)}\right)
\]
תהיינה \(X\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה פרמטרית \(k\)-ממדית ו-\(\phi:U\rightarrow\MKreal^{n}\) פרמטריזציה של \(X\).
טענה 1.8. לכל העתקה ליניארית \(T:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(k\leq n\) מתקיים \(V\left(T\right)=\sqrt{\det\left(T^{*}\circ T\right)}\)5\(T^{*}\) היא ההעתקה הצמודה של \(T\) (הוגדרה בליניארית2), אין שום עניין לזכור זאת כאן - מי שלא זוכר יכול להסתפק בעובדה ש-\(T^{*}\) היא ההעתקה הליניארית המקיימת \(\left[T^{*}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}=\left(\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\right)^{t}\) לכל בחירת בסיסים \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) של \(\MKreal^{k}\) ו-\(\MKreal^{n}\) בהתאמה., וכמו כן לכל מטריצה \(A\in M_{n\times k}\left(\MKreal\right)\) מתקיים \(V\left(A\right)=\sqrt{\det\left(A^{t}\cdot A\right)}\).
מסקנה 1.9. יהי \(\psi:V\rightarrow U\) דיפאומורפיזם, ותהא \(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\); מתקיים:\[
\intop_{U}f\left(\phi\left(x\right)\right)\cdot V\left(D\phi_{x}\right)dx=\intop_{V}f\left(\phi\left(\psi\left(y\right)\right)\right)\cdot V\left(D\left(\phi\circ\psi\right)_{y}\right)dy
\]כלומר אם אחד האינטגרלים מוגדר אז גם האחר מוגדר והם שווים.
משפט 1.10. נניח ש-\(\left(X,\phi\right)\) רגולרית בנקודה \(x_{0}\in U\), במקרה כזה קיימים:
סביבה פתוחה \(V\subseteq U\) של \(x_{0}\)
נקודה \(p\in\MKreal^{k}\), \(0<r\in\MKreal\) ודיפאומורפיזם \(\psi:B_{r}\left(p\right)\rightarrow V\)6למעשה כל נקודה ב-\(\MKreal^{k}\) תתאים מפני שיש דיפאומורפיזם בין \(B_{\varepsilon}\left(p\right)\) ל-\(B_{\varepsilon}\left(q\right)\) לכל שתי נקודות \(p,q\in\MKreal^{k}\).
פונקציה חלקה \(h:B_{r}\left(p\right)\rightarrow\MKreal^{n-k}\)
כך ש-\(\psi\left(p\right)=x_{0}\) ו-\(\left(x,h\left(x\right)\right)=A\left(\left(\phi\circ\psi\right)\left(x\right)\right)\) לכל \(x\in B_{r}\left(p\right)\).
inverted 0status collapsed
הוכחה. נניח בהג"כ ש-\(T_{x_{0}}\left(X\right)=\MKspan\left(\MKseq e,k\right)\) (אחרת נשנה את \(A\) בהתאם), תהיינה \(\MKseq{\phi},n:U\rightarrow\MKreal\) הפונקציות המקיימות \(\phi\left(x\right)=\left(\phi_{1}\left(x\right),\phi_{2}\left(x\right),\ldots,\phi_{n}\left(x\right)\right)\) לכל \(x\in U\), ותהא \(\alpha:U\rightarrow\MKreal^{k}\) הפונקציה המוגדרת ע"י \(\alpha\left(x\right):=\left(\phi_{1}\left(x\right),\phi_{2}\left(x\right),\ldots,\phi_{k}\left(x\right)\right)\) לכל \(x\in U\). מכאן ש-\(\left.D\alpha\right|_{x_{0}}\) הפיכה, ולכן ע"פ משפט הפונקציה ההפוכה קיימים \(0<r\in\MKreal\), וסביבה פתוחה \(V\subseteq U\) של \(x_{0}\), כך ש-\(\left.\alpha\right|_{V}\) הוא דיפאומורפיזם בין \(V\) ל-\(B_{r}\left(\alpha\left(x_{0}\right)\right)\). יהיו \(r\) ו-\(V\) כנ"ל, נסמן \(p:=\alpha\left(x_{0}\right)\), ותהא \(\psi:B_{r}\left(p\right)\rightarrow V\) ההופכית של \(\left.\alpha\right|_{V}\). מכאן שע"פ הגדרה \(\psi\left(x_{0}\right)=p\) ולכל \(x\in B_{r}\left(p\right)\) מתקיים:\[\begin{align*}
\phi\left(\psi\left(x\right)\right) & =\left(\phi_{1}\left(\psi\left(x\right)\right),\phi_{2}\left(\psi\left(x\right)\right),\ldots,\phi_{n}\left(\psi\left(x\right)\right)\right)\\
& =\left(\alpha\left(\psi\left(x\right)\right);\phi_{k+1}\left(\psi\left(x\right)\right),\phi_{k+2}\left(\psi\left(x\right)\right),\ldots,\phi_{n}\left(\psi\left(x\right)\right)\right)\\
& =\left(x;\phi_{k+1}\left(\psi\left(x\right)\right),\phi_{k+2}\left(\psi\left(x\right)\right),\ldots,\phi_{n}\left(\psi\left(x\right)\right)\right)\\
& =\left(\MKseq x,k,\phi_{k+1}\left(\psi\left(x\right)\right),\phi_{k+2}\left(\psi\left(x\right)\right),\ldots,\phi_{n}\left(\psi\left(x\right)\right)\right)
\end{align*}\]לכן אם נגדיר את הפונקציה \(h:B_{r}\left(p\right)\rightarrow\MKreal^{n-k}\) ע"י \(h\left(x\right):=\left(\phi_{k+1}\left(\psi\left(x\right)\right),\phi_{k+2}\left(\psi\left(x\right)\right),\ldots,\phi_{n}\left(\psi\left(x\right)\right)\right)\), נקבל שמתקיים \(\phi\left(\psi\left(x\right)\right)=\left(x,h\left(x\right)\right)\) לכל \(x\in B_{r}\left(p\right)\) (כדרוש).
2 יריעות \(k\)-ממדיות ב-\(\MKreal^{n}\)
2.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
בסוף הפרק הקודם ראינו שהרגולריות של פרמטריזציה פותרת את שלוש הבעיות שמצאנו בהגדרה של יריעה פרמטרית \(k\)-ממדית, אולם ישנה בעיה נוספת: ייתכן שהפרמטריזציה אינה העתקה פתוחה ובכך אינה שומרת על המבנה של המרחב.
\(\clubsuit\)
כפי שכבר הזכרנו בפרק הקודם, הדרישה ש-\(\alpha\) תהיה בעלת נגזרת מדרגה מלאה בכל \(U\) מחייבת שיהיה \(k\in\MKnatural\) יחיד שיענה על ההגדרה ולכן זוהי אכן הגדרה.
סימון:
לעתים נסמן \(M^{k}\) כדי להדגיש ש-\(M\) היא יריעה \(k\)-ממדית.
\(\clubsuit\)
נקודות ב-\(N\) שאינן ב-\(\MKim f\) הן תמיד ערכים רגולריים (התנאי מתקיים באופן ריק).
\(\clubsuit\)
המשפטים הבאים מראים שלמרות שההגדרה של יריעה \(k\)-ממדית ב-\(\MKreal^{n}\) הזכירה פרמטריזציה מקומית, ההגדרה אינה תלויה בה מפני שכל הפרמטריזציות המקומיות שקולות זו לזו.
הגדרה 2.1. יריעה חלקה \(k\)-ממדית ב-\(\MKreal^{n}\) (\(n\geq k\)) היא קבוצה \(M\subseteq\MKreal^{n}\) המקיימת שלכל נקודה \(p\in M\) קיימות:
קבוצה פתוחה \(W\) ב-\(M\)7כלומר \(W\) פתוחה במרחב המטרי המושרה על \(M\) מ-\(\MKreal^{n}\), או במילים אחרות קיימת קבוצה פתוחה \(O\subseteq\MKreal^{n}\) כך ש-\(W=O\cap M\). כך ש-\(p\in W\) (כלומר \(W\) היא סביבה פתוחה של \(p\) ב-\(M\))
קבוצה פתוחה \(U\subseteq\MKreal^{k}\)
העתקה חלקה \(\alpha:U\rightarrow W\) שהיא חח"ע ועל, פתוחה8גם כאן היותה של \(\alpha\) פתוחה אומרת שהיא מעתיקה קבוצה פתוחה ב-\(U\) לקבוצה פתוחה ב-\(M\) (שאינה בהכרח פתוחה ב-\(\MKreal^{n}\))., ובעלת נגזרת מדרגה מלאה בכל \(U\)
\(\alpha\) כזו תיקרא פרמטריזציה של \(M\)בסביבת\(p\), ו-\(\alpha^{-1}\) תיקרא קואורדינטות מקומיות של \(M\) בסביבת \(p\).
משפט. תהיינה \(\alpha:U_{1}\rightarrow W_{1}\) ו-\(\beta:U_{2}\rightarrow W_{2}\) שתי פרמטריזציות מקומיות של \(M\) בסביבת \(p\). נסמן: \(W:=W_{1}\cap W_{2}\), \(U_{1}':=\alpha^{-1}\left(W\right)\) ו-\(U_{2}':=\beta^{-1}\left(W\right)\); א"כ \(W\) היא סביבה פתוחה של \(p\) ב-\(M\), \(U_{1}'\) ו-\(U_{2}'\) הן קבוצות פתוחות ב-\(\MKreal^{k}\), ו-\(\beta^{-1}\circ\alpha\) היא דיפאומורפיזם בין \(U_{1}'\) ל-\(U_{2}'\). בפרט \(\left(W,\beta\mid_{U_{2}'}\right)\) היא רה-פרמטריזציה של \(\left(W,\alpha\mid_{U_{1}'}\right)\) ולהפך.
מסקנה. תהיינה \(\alpha:U_{1}\rightarrow W_{1}\) ו-\(\beta:U_{2}\rightarrow W_{2}\) שתי פרמטריזציות מקומיות של \(M\) בסביבת \(p\), ונסמן \(x:=\alpha^{-1}\left(p\right)\) ו-\(y:=\beta^{-1}\left(p\right)\); מתקיים:\[
\MKim\left(D\alpha_{x}\right)=\MKim\left(D\beta_{y}\right)
\]
הגדרה 2.2. תהא \(\alpha:U\rightarrow W\) פרמטריזציה מקומית של \(M\) בסביבת \(p\), ונסמן \(x:=\alpha^{-1}\left(p\right)\). המרחב המשיק ל-\(M\) בנקודה \(p\) הוא:\[
T_{p}\left(M\right):=\MKim\left(D\alpha_{x}\right)
\]
תהא גם \(N\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה חלקה \(l\)-ממדית.
הגדרה 2.3. העתקה \(f:M\rightarrow N\) תיקרא חלקה בנקודה\(p\) אם קיימות סביבה פתוחה \(V\) של \(p\) ב-\(\MKreal^{m}\) (כאן \(V\) פתוחה ב-\(\MKreal^{m}\) ולא ב-\(M\)), ופונקציה חלקה \(\bar{f}:V\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(\bar{f}\mid_{V\cap M}=f\) (\(\bar{f}\) כזו תיקרא הרחבה מקומית של \(f\) בסביבת \(p\)); כמו כן נאמר ש-\(f\)חלקה אם היא חלקה בכל נקודה ב-\(M\).
טענה. תהא \(f:M\rightarrow N\) פונקציה חלקה ב-\(p\), ותהיינה \(g:V\rightarrow\MKreal^{n}\) ו-\(h:W\rightarrow\MKreal^{n}\) הרחבות מקומיות של \(f\) בסביבת \(p\), מתקיים:\[
Dg\mid_{T_{p}\left(M\right)}=Dh\mid_{T_{p}\left(M\right)}
\]ובנוסף הצמצום של \(Dg\) ו-\(Dh\) ל-\(T_{p}\left(M\right)\) הוא העתקה ליניארית מ-\(T_{p}\left(M\right)\) ל-\(T_{f\left(p\right)}\left(N\right)\).
הגדרה 2.4. תהא \(f:M\rightarrow N\) פונקציה חלקה בנקודה \(p\), ותהא \(\bar{f}:V\rightarrow\MKreal^{n}\) הרחבה מקומית של \(f\) בסביבת \(p\); הדיפרנציאל של \(f\) ב-\(p\) הוא:\[
Df_{p}:=D\bar{f}\mid_{T_{p}\left(M\right)}
\]
הגדרה 2.5. תהא \(f:M\rightarrow N\) פונקציה חלקה, נקודה \(p\in M\) תיקרא נקודה רגולרית של \(f\) אם \(Df_{p}\left(T_{p}\left(M\right)\right)=T_{f\left(p\right)}\left(N\right)\) (כלומר הדיפרנציאל של \(f\) ב-\(p\) הוא על). נקודה \(q\in N\) תיקרא ערך רגולרי של \(f\) אם כל נקודה \(p\in f^{-1}\left(\left\{ q\right\} \right)\) היא נקודה רגולרית.
ניתן היה להגדיר "נקודה \(q\in\MKim f\) תיקרא ערך רגולרי..." ובכך להימנע מעניין זה (אנחנו נראה בהמשך שהעובדה שלא הגדרנו כך תדרוש מאיתנו להוסיף תנאים כדי שהמשפטים אכן יהיו נכונים). צריך להמשיך את הפרק
משפט 2.6. תהא \(M\subseteq\MKreal^{n}\) תת-קבוצה; \(M\) היא יריעה \(k\)-ממדית אם"ם לכל נקודה \(p\in M\) קיימים:
סביבה פתוחה \(W\subseteq M\)9שוב נזכיר ש-\(W\) פתוחה ב-\(M\) ולאו דווקא ב-\(\MKreal^{n}\), המשמעות היא שקיימת קבוצה פתוחה \(U\subseteq\MKreal^{n}\) כך ש-\(W=U\cap M\). של \(p\) (\(p\in W\))
נקודה \(x_{0}\in\MKreal^{k}\), \(0<r\in\MKreal\) ופונקציה חלקה \(h:B_{r}\left(x_{0}\right)\rightarrow\MKreal^{n-k}\)
\(\Leftarrow\) נניח ש-\(M\) היא יריעה \(k\)-ממדית ותהא \(p\in M\). תהא \(\tilde{\alpha}:\tilde{U}\rightarrow\tilde{W}\) פרמטריזציה של \(M\) בסביבת \(p\) (כלומר \(\tilde{U}\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(\tilde{W}\subseteq M\) הן קבוצות פתוחות ו-\(\alpha\) היא פונקציה חלקה, פתוחה, חח"ע ועל, ובעלת נגזרת מלאה). נסמן \(y_{0}:=\tilde{\alpha}^{-1}\left(p\right)\), יהי \(0<\tilde{r}\in\MKreal\) כך ש-\(\bar{U}:=B_{\tilde{r}}\left(y_{0}\right)\subseteq\tilde{U}\), ונסמן \(\bar{W}:=\tilde{\alpha}\left(U\right)\). א"כ \(\left(\bar{W},\left.\tilde{\alpha}\right|_{\bar{U}}\right)\) היא יריעה פרמטרית רגולרית ב-\(y_{0}\), ולכן ע"פ משפט 1.3 קיימים סביבה פתוחה \(V\subseteq\MKreal^{k}\), \(0<r\in\MKreal\), \(x_{0}\in\MKreal^{k}\) דיפאומורפיזם \(\psi:B_{r}\left(x_{0}\right)\rightarrow V\), פונקציה חלקה \(h:B_{r}\left(x_{0}\right)\rightarrow\MKreal^{n-k}\) והעתקה ליניארית אורתוגונלית \(A:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\), כך שמתקיים \(\psi\left(y_{0}\right)=x_{0}\) ו-\(\left(x,h\left(x\right)\right)=A^{-1}\left(\left(\phi\circ\psi\right)\left(x\right)\right)\) לכל \(x\in B_{r}\left(y_{0}\right)\). נסמן \(W:=\tilde{\alpha}\left(V\right)\) (\(y_{0}\in V\) ולכן \(p\in W\), ומהיות \(\tilde{\alpha}\) פתוחה נובע ש-\(W\) פתוחה) ונקבל:\[
\alpha\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)=A\left(A^{-1}\left(\left(\phi\circ\psi\right)\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)\right)\right)=\tilde{\alpha}\left(\psi\left(B_{r}\left(x_{0}\right)\right)\right)=\tilde{\alpha}\left(V\right)=W
\]
\(\Rightarrow\) נניח שלכל \(p\in M\) מתקיים כל הנ"ל, תהא \(p\in M\), ויהיו \(W\), \(x_{0}\), \(r\), \(h\) ו-\(A\) כנ"ל. נשים לב לכך ש-\(\alpha\) הפיכה: ההופכית שלה היא \(A^{-1}\circ\pi\), כאשר \(\pi\) היא ההטלה על \(\MKspan\left(\MKseq e,k\right)\). מכאן ש-\(\alpha:B_{r}\left(x_{0}\right)\rightarrow W\) היא פונקציה חח"ע ועל, פתוחה (ההופכית שלה רציפה), חלקה ובעלת נגזרת מלאה (היא הרכבה של פונקציות חלקות בעלות נגזרת מדרגה מלאה). א"כ \(\alpha\) היא פרמטריזציה של \(M\) בסביבת \(p\), ומהיות \(p\) שרירותית נובע ש-\(M\) היא יריעה \(k\)-ממדית.
למה 2.8. תהא \(\alpha:U\rightarrow W\) פרמטריזציה מקומית של \(M\) בסביבת \(p\). קיימות סביבה פתוחה \(\tilde{W}\) של \(p\) ב-\(\MKreal^{n}\) (כאן \(\tilde{W}\) פתוחה ב-\(\MKreal^{n}\) ולא ב-\(M\)), והעתקה חלקה \(\psi:\tilde{W}\rightarrow U\), כך שלכל \(x\in\alpha^{-1}\left(\tilde{W}\right)\) מתקיים \(\psi\left(\alpha\left(x\right)\right)=x\) (כלומר ב-\(\alpha^{-1}\left(\tilde{W}\right)\) מתקיים \(\psi\circ\alpha=\MKid\)).
inverted 0status collapsed
הוכחה. נסמן \(x_{0}:=\alpha^{-1}\left(p\right)\), ונניח בהג"כ ש-\(k\) העמודות הראשונות של \(\left.D\alpha\right|_{x_{0}}\) בת"ל. נסמן \(\tilde{U}:=U\times\MKreal^{n-k}\), ותהא \(\tilde{\alpha}:\tilde{U}\rightarrow\MKreal^{n}\) פונקציה המוגדרת ע"י \(\tilde{\alpha}\left(\MKseq x,n\right):=\alpha\left(\MKseq x,k\right)+\sum_{i=k+1}^{n}x_{i}\cdot e_{i}\), מההנחה ש-\(k\) העמודות הראשונות של \(\left.D\alpha\right|_{x_{0}}\) בת"ל נובע ש-\(D\tilde{\alpha}\) הפיכה ב-\(\left(x_{0},0\right)\), ולכן ע"פ משפט הפונקציה ההפוכה קיימת סביבה פתוחה \(V\subseteq\MKreal^{n}\) של \(\left(x_{0},0\right)\) וסביבה פתוחה \(\tilde{W}\subseteq\MKreal^{n}\) של \(\tilde{\alpha}\left(x_{0},0\right)=p\) כך ש-\(\tilde{\alpha}\) היא דיפאומורפיזם בין \(V\) ל-\(\tilde{W}\). תהא \(\pi:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{k}\) הפונקציה המוגדרת ע"י \(\pi\left(\MKseq x,n\right):=\left(\MKseq x,k\right)\) ונסמן \(\psi:=\pi_{k}\circ\tilde{\alpha}^{-1}\), א"כ לכל \(x\in\alpha^{-1}\left(\tilde{W}\right)\) מתקיים:\[
\psi\left(\alpha\left(x\right)\right)=\pi\left(\tilde{\alpha}^{-1}\left(\tilde{\alpha}\left(x,0\right)\right)\right)=\pi\left(x,0\right)=x
\]
משפט 2.9. תהיינה \(\alpha:U_{1}\rightarrow W_{1}\) ו-\(\beta:U_{2}\rightarrow W_{2}\) שתי פרמטריזציות מקומיות של \(M\) בסביבת \(p\). נסמן: \(W:=W_{1}\cap W_{2}\), \(U_{1}':=\alpha^{-1}\left(W\right)\) ו-\(U_{2}':=\beta^{-1}\left(W\right)\); א"כ \(W\) היא סביבה פתוחה של \(p\) ב-\(M\), \(U_{1}'\) ו-\(U_{2}'\) הן קבוצות פתוחות ב-\(\MKreal^{k}\), ו-\(\beta^{-1}\circ\alpha\) היא דיפאומורפיזם בין \(U_{1}'\) ל-\(U_{2}'\). בפרט \(\left(W,\beta\mid_{U_{2}'}\right)\) היא רה-פרמטריזציה של \(\left(W,\alpha\mid_{U_{1}'}\right)\) ולהפך.
מסקנה 2.10. תהיינה \(\alpha:U_{1}\rightarrow W_{1}\) ו-\(\beta:U_{2}\rightarrow W_{2}\) שתי פרמטריזציות מקומיות של \(M\) בסביבת \(p\), ונסמן \(x:=\alpha^{-1}\left(p\right)\) ו-\(y:=\beta^{-1}\left(p\right)\); מתקיים:\[
\MKim\left(D\alpha_{x}\right)=\MKim\left(D\beta_{y}\right)
\]
תהא \(N\subseteq\MKreal^{n}\) יריעה \(l\)-ממדית.
טענה 2.11. תהיינה \(f:M\rightarrow N\) פונקציה, \(\alpha:U\rightarrow W\) פרמטריזציה מקומית של \(M\) בסביבת \(p\), ו-\(\beta:A\rightarrow B\) פרמטריזציה מקומית של \(N\) בסביבת \(f\left(p\right)\). \(f\) חלקה ב-\(p\) אם"ם קיימת סביבה פתוחה \(U'\subseteq U\) של \(\alpha^{-1}\left(p\right)\) כך שהפונקציה \(\beta^{-1}\circ f\circ\alpha\mid_{U'}\) היא העתקה חלקה.
\(\clubsuit\)
חשיבות של טענה זו בכך שהיא נותנת אפיון להיותה של פונקציה חלקה בין יריעות מבלי להזדקק להרחבה מקומית שלה.
טענה 2.12. תהא \(f:M\rightarrow N\) פונקציה חלקה ב-\(p\), ותהיינה \(g:V\rightarrow\MKreal^{n}\) ו-\(h:W\rightarrow\MKreal^{n}\) הרחבות מקומיות של \(f\) בסביבת \(p\), מתקיים:\[
Dg\mid_{T_{p}\left(M\right)}=Dh\mid_{T_{p}\left(M\right)}
\]ובנוסף הצמצום של \(Dg\) ו-\(Dh\) ל-\(T_{p}\left(M\right)\) הוא העתקה ליניארית מ-\(T_{p}\left(M\right)\) ל-\(T_{f\left(p\right)}\left(N\right)\).
משפט 2.13. תהא \(f:M\rightarrow N\) פונקציה חלקה, ותהא \(q\in N\) כך ש-\(f^{-1}\left(\left\{ q\right\} \right)\neq\emptyset\) (כלומר \(q\in\MKim f\)). אם \(q\) היא ערך רגולרי של \(f\) אז \(f^{-1}\left(\left\{ q\right\} \right)\) היא יריעה \(\left(k-l\right)\)-ממדית ב-\(\MKreal^{n}\).
אני מנחש שלכל יריעה \(d\)-ממדית \(N'\subseteq N\subseteq\MKreal^{n}\) כך שכל נקודה ב-\(N'\) היא ערך רגולרי, נקבל ש-\(f^{-1}\left(N'\right)\) היא יריעה \(\left(k-l+d\right)\)-ממדית. צריך להמשיך את הפרק
3 יריעות עם שפה
3.1 הגדרות
הגדרה 3.1. חצי המרחב העליון של \(\MKreal^{k}\) הוא הקבוצה:\[
\MKbbh^{k}:=\left\{ \left(\MKseq x,k\right)\in\MKreal^{k}\mid\right\}
\]
יש לכתוב פרק זה.
\(\:\)
4 מושגים פיזיקליים
4.1 הגדרות
צריך להוסיף כאן את המושגים "מרכז מסה" ו-"מומנט אינרציה" (תרגול4).
צריך להוסיף כאן את המושגים "מרכז מסה" ו-"מומנט אינרציה" (תרגול4).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );